Die Mathematik der Angst

Posted On 27/05/2021

Zahlen haben aller Wahrscheinlichkeit nach noch nie eine so dominante Rolle in der Öffentlichkeit gespielt wie seit Anfang der Pandemie. Wer konsultiert nicht schon fast instinktiv die alltäglichen Resultate der PCR-Tests und die Belegung der Krankenhausbetten. Die statistische Interpretation all dieser Daten soll es erlauben, die aktuelle Evolution des Infektionsgeschehen einzuschätzen, oder etwa die Frage beantworten, inwiefern bereits eine Herdenimmunität vorhanden ist. Dies bestimmt und legitimiert die politischen Entscheidungen und hat somit weitreichenden Einfluss auf das Schicksal vieler Menschen.

Ein Begriff welcher immer wieder auftaucht und mittlerweile in dieser Krise als Synonym für das worst case scenario etabliert wurde ist der des exponentiellen Wachstums:

Die Herausforderung war auch jeden Tag anders. Am Anfang war es der Erhalt der Gesundheit. Man darf nicht vergessen, dass wir Tage hatten mit hundert Neuinfektionen, die exponentiell stiegen. Wir haben es immer fertiggebracht, Situationen wie die in den überlasteten Gesundheitssystemen im Ausland zu vermeiden. Die größte Herausforderung war aber, dass wir antizipieren und gleichzeitig auch reagieren mussten. Und solange keine Impfung verfügbar ist, bleibt diese Herausforderung bestehen. Man soll nicht meinen, dass es vorbei ist.

Xavier Bettel ^[1]

Die Dramatik dieser Krise spielt sich also zumindest scheinbar im Spannungsfeld eines zu bezähmenden Virus und immer wieder wechselnden Gegenmassnahmen ab, die bei Versagen in die Katastrophe führen. Die Rolle des Damoklesschwert spielt dabei dieses potentiell jederzeit mögliche ungehemmte Anwachsen der Neuinfektionen, welches das Gesundheitssystem zum Kollabieren bringen würde.

Was ist nun dieses exponentielle Wachstum genau ?

Von exponentiellem Wachstum spricht man, wenn eine Größe bei jedem Schritt sich um einen konstanten Faktor (größer eins) vervielfacht. Ein klassisches Beispiel für den Faktor zwei ist die Legende nach der ein König sich beim Erfinder des Schachspiels erkenntlich zeigen wollte und diesen bat, sich etwas zu wünschen. Letztere wollte nun auf dem Schachbrett ein Reiskorn auf dem ersten Feld, zwei auf dem zweiten Feld, vier auf dem dritten Feld usw.

Der König hielt dies zunächst für einen bescheidenen Wunsch, merkte jedoch sehr schnell, dass er unfähig war ihn zu erfüllen: in der Tat beläuft sich auf dem 64-ten Feld die Zahl der Reiskörner auf 9.223.372.036.854.775.808.

Hier die Tabelle mit den entsprechenden Rechnungen für die ersten 6 Felder:

Feld Nummer x	Anzahl Reiskörner auf Feld x
1	1 = 20
2	2 = 21
3	4 = 22
4	8 = 23
5	16 = 24
6	32 = 25

Exponentielles Wachstum besteht jedoch generell, wenn wie gesagt dieser Faktor größer eins ist. In der folgenden Grafik sind die Faktoren 3, 2, und 1,5 zum Vergleich abgebildet.

In der rechten Grafik ist die vertikale Achse logarithmisch skaliert. Aus den Kurven werden dann Geraden mit unterschiedlicher Steigung. Dies stellt eine gute Methode dar, um ein vermeintlich exponentielles Wachstum auf seine „Güte“ hin zu untersuchen.

Wir sehen also: ein exponentielles Wachstum stellt ein sehr starkes Wachstum dar, welches sich zudem im Verlauf noch unbegrenzt beschleunigt.

Welche Bedeutung hat dieses exponentielle Wachstum nun in einem epidemiologischen Kontext ?

Wir betrachten zum besseren Verständnis zwei Beispiele, welche zunächst nichts mit dem hier betrachteten Zusammenhang zu tun haben.

Beispiel 1:

An drei aufeinanderfolgenden Tagen werden Geschwindigkeitskontrollen durchgeführt. Wir setzen voraus, dass die Kontrollen jeweils über die gleiche Zeitdauer erfolgen, und an Orten ausgeführt werden, welche eine vergleichbare Verkehrssituation aufweisen.
Am ersten Tag beträgt die Ausbeute einer einzelnen Kontrolle 20 Autofahrer, am zweiten Tag an anderer Stelle werden ebensoviele Geschwindigkeits-Delikte festgestellt. Am dritten Tag schließlich ergeben zwei gleichzeitig durchgeführte Kontrollen an unterschiedlichen Orten eine Gesamtzahl von 40 Geschwindigkeits-Überschreitungen. (Die Zahlen wurden bewusst einfach gewählt um die Zusammenhänge klar aufzuzeigen.)

Wir können diese Daten nun auf unterschiedliche Art und Weise auswerten, je nachdem ob wir die Anzahl der Kontrollen berücksichtigen oder nicht, und ob wir die Anzahl der Autofahrer kumulieren oder nicht. Die Resultate sind in folgender Tabelle zusammengefasst:

Tag	1	2	3
Autofahrer	20	20	40
Kontrollen	1	1	2
Autofahrer pro Kontrolle	20 / 1 = 20	20 / 1 = 20	40 / 2 = 20
Autofahrer kumuliert	20	20+20=40	20+20+40=80
Autofahrer pro Kontrolle kumuliert	20	20+20=40	20+20+20=60

Die Zeilen „Autofahrer“, „Autofahrer pro Kontrolle“, „Autofahrer kumuliert“ und „Autofahrer pro Kontrolle kumuliert„ können wir nun graphisch darstellen:

Beispiel 2:

Dieses unterscheidet sich vom ersten nur in einem Punkt: am dritten Tage werden 40 Autofahrer in einer einzigen Kontrolle ermittelt.

Tag	1	2	3
Autofahrer	20	20	40
Kontrollen	1	1	1
Autofahrer pro Kontrolle	20 / 1 = 20	20 / 1 = 20	40 / 1= 40
Autofahrer kumuliert	20	20+20=40	20+20+40=80
Autofahrer pro Kontrolle kumuliert	20	20+20=40	20+20+40=80

Wir stellen fest:

1. Die erste Grafik gibt einen Überblick über die absoluten Zahlen pro Tag,und berücksichtigt dabei nicht die Anzahl der Kontrollen, welche zu diesem Ergebnis geführt haben. Interessieren wir uns für die Evolution der Daten, wo ein Vergleich der einzelnen Tage untereinander möglich sein muss, ist diese Darstellung nicht geeignet.
2. Bei der zweiten Grafik wird die Anzahl der Autofahrer in Bezug zur Anzahl der Kontrollen gesetzt. Diese relative Zahl beschreibt die Realität sehr viel genauer: im Beispiel 1 hat ja die Mehrzahl an Kontrollen zu einer höheren Anzahl an Autofahrern geführt, es gab dafür nicht allgemein mehr Autofahrer welche die Geschwindigkeits-Beschränkung nicht eingehalten hätten.
3. Kumuliert man die absoluten Zahlen wie in Grafik3 dargestellt, besteht offensichtlich die Gefahr einer Fehleinschätzung der Situation: sowohl eine gleichbleibendes Verhalten der Autofahrer bei der Erhöhung der Kontrollen, als auch ein Anwachsen der Geschwindigkeits- Überschreitungen bei gleich vielen Kontrollen kann zu einem exponentiellen Wachstum führen!
4. Abhilfe schafft bei Punkt 3 das Kumulieren der relativen Zahlen (Grafik 4). Verändert sich das Verhallten der Autofahrer nicht, macht sich dies in einem linearen Wachstum bemerkbar (Beispiel 1), im anderen Fall in einem exponentiellen (Beispiel 2). Der Nachteil dieser Darstellung ist allerdings, dass die Werte auf der vertikalen Achse keiner realen Größe mehr zugeordnet werden können. Wir werden sie deshalb nich weiter berücksichtigen.

Wir möchten diese Überlegungen nun auf die epidemiologische Situation in Luxemburg übertragen. Bei unseren imaginären Beispielen sind wir davon ausgegangen, dass die Anzahl der Autofahrer bei denen eine Geschwindigkeitsüberschreitung festgestellt wurde, mit der Anzahl an Kontrollen anwächst. Dazu ist es notwendig vorauszusetzen, dass es eine genügend hohe Dunkelziffer gibt, welche sich bei den (zusätzlichen) Kontrollen dann auch in der Anzahl der Autofahrer niederschlägt.

Wenden wir dies auf die PCR-Tests an, so muss entsprechend gezeigt werden, dass auch hier eine ausreichend hohe Anzahl an Personen vorhanden ist, die potenziell positiv getestet werden könnten, sodass ein höhere Zahl von Testungen auch zu mehr positiv Getesteten führt. (Dabei ist es unerheblich ob in diesem Falle tatsächlich eine Erkrankung vorliegt.)

Die seit dem 13. Juli 2020 verfügbaren Statistiken ^[2] zur Anzahl der im Rahmen des LST und „Tracing“ durchgeführten Tests bestätigen dies: in der Woche vom 13. bis 19. Juli wurden von 685 positiv Getesteten lediglich 244 auf „ordonnance“ (also auf Verdacht wegen klinischer Symptome), der Rest in den Kategorien „LST“, „Tracing“ und „voucher aeroport“ getestet. Personen in den letzteren 3 Kategorien wären damit statistisch nicht erfasst worden, und Teil der Dunkelziffer gewesen.

Interessant in diesem Zusammenhang ist, dass selbst Research Luxembourg sich nicht sicher ist, ob ein Anwachsen der Anzahl der positiven Tests nicht auch durch ein gleichzeitiges Ansteigen der Zahl durchgeführter Tests hervorgerufen werden kann. In ihrem Bericht vom 2. Juli 2020 ^[3] schreibt sie:

Um zu evaluieren, ob dieses Verhalten an der gestiegenen Testanzahl liegen könnte, zeigt Abbildung 6 die relative Anzahl der positiven Fälle pro Tag und pro Testanzahl […] .

Somit wird selbst von der Task Force die Betrachtung der relativen Zahlen, wie unter Punkt 2 beschrieben, als die zuverlässigere Methode angesehen um die Entwicklung des Infektionsgeschehen zu bewerten.

Das verwundert umso mehr, da das angebliche exponentielle Wachstum der Infektionszahlen immer aus der Darstellung der kumulierten absoluten Zahlen hergeleitet wurde. Seit Beginn der Pandemie wurde eine solche Entwicklung bis jetzt 3 Mal postuliert.

1. Erste Welle im März 2020

In der Pressekonferenz von Research Luxembourg vom 7. Mai 2020 ^[4] wird eine Grafik gezeigt, in welcher die kumulierten absoluten Zahlen der positiven PCR-Tests als rote Punkte dargestellt werden. Eine exponentielle Regression bis etwa zum 22. März mit einer Verdopplungszeit von 2,28 Tagen ist in grau eingezeichnet und mit „no lockdown scenario“ beschriftet. Es wird also suggeriert, dass ohne Massnahmen die Entwicklung der Infektionen diesen Verlauf genommen hätte.

Wir betrachten nun wie in den obigen Beispielen die absoluten Zahlen der positiven PCR-Tests (blau, als Balken, gleitender Mittelwert über 7 Tage als Linie, linke Skala) und zusätzlich die Gesamtzahl an Tests (grau, als Balken, gleitender Mittelwert über 7 Tage als Linie, reche Skala) sowie die in einer weiteren Grafik die Zahlen der positiven Tests relativ zur Gesamtzahl der Tests (Positivenrate).

Wir sehen unmittelbar, dass sowohl die Zahl der positiven Tests als auch die Gesamtzahl ansteigt, wir befinden uns somit in der Situation von Beispiel 1: Anstieg der Tests ohne dass bei der Positivenrate ein exponentielles Wachstum festzustellen wäre.

Die nächste Grafik zeigt die rekonstruierten Punkte der kumulierten absoluten Zahlen, sowie den postulierten exponentiellen Verlauf.

Bei der logarithmischen Skalierung der vertikalen Achse wird deutlich, dass die auf den ersten Blick zufriedenstellende Regression doch wesentliche Mängel aufweist: sie gibt eigentlich nur den Verlauf für die Punkte vom 18. bis 22. März zufriedenstellend wieder.

Fazit: die erste Welle zeigt kein exponentielles Wachstum der Positivenrate auf und sogar selbst für die kumulierten absoluten Zahlen gilt dies nur sehr eingeschränkt.

Bemerkung:

Wie wir schon in einem Artikel ^[5] gezeigt hatten, erreicht die Positivenrate schon am 21. März ihr Maximum, der Lockdown kann deshalb nicht die Ursache für den Rückgang der positiven Tests sein.

2. Die Welle im Sommer 2020

Das zweite exponentielle Wachstum wird während der zweiten Welle im Sommer 2020 festgestellt. In der Publikation vom 28. August ^[6] wird folgende Grafik gezeigt.

Das exponentielle Wachstum soll sich bis zum 16. Juli erstrecken. Wir betrachten wieder die absoluten und relativen Zahlen der positiven PCR-Tests:

Wir stellen wieder eine Steigerung der Gesamtzahl der Tests vom 26. Juni bis 19. Juli fest. Die Positivenrate variiert in diesem Zeitraum nur minimal und überschreitet kaum die 1 Prozentmarke. Zudem muss man bei solch niedrigen Werten der Prävalenz auch von einem nicht unwesentlichen Anteil von falsch Positiven ausgehen. Von einem exponentiellen Wachstum kann also keine Rede sein. Nur die kumulierten absoluten Zahlen zeigen wieder ein solches Verhalten.

Erwähnenswert ist in diesem Zusammenhang, dass dieser „Sturm im Wasserglas“ Research Luxembourg veranlasste, während annähernd 6 Wochen vor einer drohenden zweiten Welle zu warnen:

• Schon im Bericht vom 18. Juni ^[7] wurde zum ersten Mal die Möglichkeit einer zweiten Welle thematisiert: “Potentielle Akteure einer zweiten Welle”, “Länder mit zweiten Infektionswellen“.
• Dann im Bericht vom 2. Juli ^[3], wo ein „exponentieller“ Verlauf der Positivenrate festgestellt wurde, dies allerdings bedingt durch einen einzigen Ausreißer am 23. Juni:
  “Ab dem 19. Juni ist aber ein sprunghafter Anstieg zu verzeichnen, wobei die normierten und über 7 Tage gemittelten Werte einen exponentiellen Verlauf zeigen. Dies ist ein klares Indiz, dass der Anstieg der Fallzahlen nicht durch das vermehrte Testen induziert wurden und u.U. den Anfang einer 2. Welle anzeigt.”
• In der Pressekonferenz vom 9. Juli ^[8] heißt es in den Schlussfolgerungen (Slide 32): “Momentane Zahlen sind alarmierend und können auf eine 2. Welle hindeuten.”
• Des weiteren im Bericht vom 15. Juli ^[9] lesen wir:
  “Der Kurvenverlauf entspricht einem exponentiellen Anwachsen, den man zum Beginn einer zweiten Welle erwarten kann.” und: “Somit müsste man aufgrund der aktuell vorliegenden Fallzahlen von einer allgemeinen zweiten Welle ausgehen.”
• Den Höhepunkt der Schwarzmalerei wird im Bericht vom 19. Juli ^[10] erreicht, wo man sich nach Hochrechnungen im ungünstigsten Fall auf maximal 2000 (!) Tote für Ende August einstellen müsste:
  ”These most recent analyses underline the notion that, in the absence of any additional measures, the numbers of cases will continue to rise exponentially and that Luxembourg is witnessing a second wave in SARS-CoV-2 infections within its population. If the current dynamics persist, a shortfall in available intensive care unit (ICU) beds may be expected already by the end of August.”
• Die Entwarnung kommt schließlich erst am 24. Juli ^[11]:
  “Taken together, the updated analysis on the second wave provides evidence for a potential weakening of the second wave during the past days but that the number of active infections and ICU demands will still increase during the next days and potentially weeks.”

3. Die 3. Welle im Oktober 2020

Das dritte exponentielle Wachstum schließlich soll sich in der Zeitspanne vom 1. bis 31. Oktober abgespielt haben, in der folgenden Grafik der Publikation vom 20. November ^[12] grün dargestellt.

Wie in den Fällen zuvor, betrifft dies allerdings wieder nur die kumulierten absoluten Zahlen. Es gab auch im Oktober wieder ein Ansteigen der Gesamtzahl der Testungen, gleichzeitig mit der Anzahl an positiven Tests.

Die Positivenrate stieg gegen Ende des Monats an, um am 26. Oktober bereits das Maximum zu erreichen. In unserem Artikel „Wie man (k)eine Welle bricht^[13] hatten wir gezeigt, dass dieser Anstieg in linearen Schritten verlief und sich abschwächte noch bevor die Massnahmen am 30. Oktober in Kraft traten.

Fazit

Wie wir eingangs bewiesen haben, kann aus einem exponentiellen Verlauf der kumulierten absoluten Zahlen nicht auf ein ebensolches der Infektionsdynamik geschlossen werden. Aus mathematisch nicht nachvollziehbaren Gründen wurde trotzdem diese Größe anstelle der Positivenrate herangezogen, um die epidemiologische Lage zu bewerten. Wir haben die einzelnen Zeitabschnitte, für die mit dieser Argumentation ein exponentielles Wachstum postuliert wurde, untersucht und konnten in keinem Fall diese Einschätzung anhand des Kriteriums der Positivenrate bestätigen.

Ein exponentielles Wachstum hat somit zu keinem Moment stattgefunden.

Möchte man allerdings dem Narrativ eines Virus‘, welcher nur mit beständigen Massnahmen unter Kontrolle gehalten werden kann („an der Gitt halen“), mit Dramatik Nachdruck verleihen, kommt einem ein solches Konstrukt sehr gelegen.

Quellen

[1] Luxemburger Wort (17.09.2020): Bettel: „Haben das Schlimmste verhindert“
https://gouvernement.lu/de/actualites/toutes_actualites/interviews/2020/09-septembre/17-bettel-
luxemburgerwort.html

[2] data.public.lu: COVID-19 Rapport hebdomadaire du 30 juillet 2020
https://download.data.public.lu/resources/covid-19-rapport-hebdomadaire/20200730-183632/coronavirus- rapport-hebdomadaire-presse-30072020.pdf

[3] Research Luxembourg (02.07.2020):
Report: Analyse der Covid-19 Fälle im Hinblick auf eine mögliche 2. Welle https://storage.fnr.lu/index.php/s/hqANPRKMKPbl6H6/download

[4] Research Luxembourg (07.05.2020): COVID-19 press conference
https://storage.fnr.lu/index.php/s/vF6z6WRk2YIDBYr/download

[5] Expressis Verbis: Weitergehen, es gibt hier nichts zu sehen !
https://www.expressis-verbis.lu/2021/03/13/weitergehen-es-gibt-hier-nichts-zu-sehen/

[6] Research Luxembourg (28.08.2020): Update of the current situation in Luxembourg
https://storage.fnr.lu/index.php/s/nPO3P3jYemiCch2/download

[7] Research Luxembourg (18.06.2020): COVID-19 press conference
https://storage.fnr.lu/index.php/s/3kM42gHH0mgaeNT/download

[8] Research Luxembourg (09.07.2020): COVID-19 press conference
https://storage.fnr.lu/index.php/s/VIczKUQgof5b0B4/download

[9] Research Luxembourg (15.07.2020):
Analyse der COVID-19 Fallzahlen in Luxemburg im Hinblick auf die derzeitige Lage https://storage.fnr.lu/index.php/s/MUqkpoTuNO2QFWk/download

[10] Research Luxembourg (19.07.2020): Report: Controlling the second wave
https://storage.fnr.lu/index.php/s/UpRAYW4d3yxA2lV/download

[11] Research Luxembourg (24.07.2020): Update of the current situation in Luxembourg
https://storage.fnr.lu/index.php/s/nPO3P3jYemiCch2/download

[12] Research Luxembourg (20.11.2020): Update of the current situation in Luxembourg
https://storage.fnr.lu/index.php/s/44JLPoDa8vzDWRm/download

[13] Expressis Verbis: Wie man (k)eine Welle bricht
https://www.expressis-verbis.lu/2021/02/03/wie-man-keine-welle-bricht/