Exponentielles Wachstum

Im Zusammenhang mit der aktuellen Corona-Krise taucht immer wieder der Begriff Exponentielles Wachstum auf. Auf viele Menschen scheint er einen sehr beunruhigenden Effekt zu haben und in der Tat klingt er besonders im Zusammenhang mit einer Pandemie angsteinflößend; für uns Grund genug, uns heute ausgiebiger damit zu beschäftigen.

Definition

Exponentielles Wachstum (auch unbegrenztes bzw. freies Wachstum genannt) beschreibt ein mathematisches Modell für einen Wachstumsprozess, bei dem sich die Bestandsgröße in jeweils gleichen Zeitschritten immer um denselben Faktor vervielfacht.[1]

 

Diese Definition klingt für einen Nicht-Mathematiker in der Tat ausgesprochen nüchtern und abstrakt. Aus diesem Grund bedienen wir uns heute einer bekannten indischen Parabel um den König Sher Khan und dem Weisen Sissa aus dem Jahr 1256. [2]

Der König Sher Khan war der Legende nach eine recht kapriziöse Persönlichkeit; eines Tages beorderte er seinen Hofstab, für ihn ein Spiel zu erfinden, um ihn aus seiner Langeweile herauszuholen.

Ein weiser Mann namens Sissa erfand für ihn das Schachspiel und der König war über dieses neue Spiel so begeistert, dass er ihn unbedingt belohnen wollte. Er forderte Sissa auf, sich etwas zu wünschen.

Dieser wollte erst nicht, doch da der König drängte, erwiderte Sissa, dass er sich auf dem Schachbrett einen Reiskorn auf dem ersten Feld, zwei auf dem zweiten Feld, vier auf dem dritten Feld usw. wünsche. Zunächst wurde der König über die Bescheidenheit dieses Wunsches ärgerlich, doch schnell eilten die Hofmathematiker zu ihm und rechneten ihm aus, dass er diesen Wunsch wohl nicht erfüllen könne: in der Tat beläuft sich auf dem 64-ten Feld die Anzahl der Reiskörner auf 9.223.372.036.854.775.808 was einem Vielfachen der weltweiten Reisproduktion entsprach.

In diesem Fall ist der Faktor also 2, da sich die Anzahl der Reiskörner pro Feld um die Zahl 2 vervielfacht:

Feld Nummer Anzahl der Reiskörner auf dem Feld
1 1 = 20
2 2 = 21
3 4 = 22
4 8 = 23
5 16 = 24
64 9.223.372.036.854.775.808 = 263
Die Schachbrettlegende des Königs Shirhan

Stellen wir dies in einer Grafik dar, erhalten wir:

Wir sehen also: ein exponentielles Wachstum stellt ein sehr starkes Wachstum dar, welches sich zudem unbegrenzt beschleunigt.

Dieser Faktor muss nun nicht genau 2 sein. Von exponentiellem Wachstum spricht man generell, wenn dieser Faktor größer als 1 ist, z.B. 3 oder 4 oder aber auch 1,5.

 

Quellen:

[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentielles_Wachstum
[2] https://meinstein.ch/math/reis-auf-dem-schachbrett